Уравнения в целых и натуральных числах

П. Ф. Севрюков, г. Ставрополь

Готовимся к олимпиадам

Наши ученики привыкли к решению задач на множестве действительных чисел. Но на олимпиадах по математике при решении задач, в которых требуется найти только целые, натуральные или рациональные решения, учащиеся почти всегда испытывают определённые затруднения… Даже вопрос: «Сколько натуральных решений имеет неравенство x −3 ≤ 0?», — порой ставит их в тупик… Хотя, казалось бы, всё ясно: неравенство x ≤ 3 даёт решение, но 0 не является числом натуральным и решением неравенства является множество {1;2;3}.

В данной статье мы рассмотрим методы решения разнообразных уравнений с несколькими переменными, решениями которых являются целые или натуральные числа.

При решении будем использовать понятие чётности, свойства делимости и остатков при делении, выделение целых частей, группировку и т. д.

Решение любой задачи следует начинать с определения метода, которым мы будем решать ту или иную задачу.